Comportement canonique des fonctions boréliennes sur un plan polonais

Otmar Spinas

Une partie de l’espace de Baire ^{ω}ω est dite superparfaite si elle est fermée et homéomorphe à ^{ω}ω. Un rectangle de (^{ω}ω)^{2} est dit superparfait si ses deux côtés le sont. Je présente ici la canonisation de toutes les fonctions boréliennes de (^{ω}ω)^{2} vers ℝ modulola restriction à un rectangle superparfait. Par le théorème de Hurewicz, ceci donne, pour tout espace polonais X non σ-compact, la canonisation des fonctions boréliennes f : X^{2} → ℝ modulo la restriction à un rectangle de côtés fermés et non σ-compacts. On sait qu’unénoncé analogue est impossible en dimension supérieure ou égale à 3. Dans la suite, j’explique à quoi ressemble cette canonisation. Ce travail fait suite à [Sp1] et est présenté dans [Sp2].

Définition 1. On dit que (x, y) ∈ (^{ω}ω)^{2} oscille infiniment souvent s’il existe une suite strictement croissante ⟨k_{i} : i < ω⟩ ∈ ^{ω}ω telle que k_{0} = 0 et, pour n < ω:

1. k_{2n} = min{i < ω : y(i) > max{k_{2n+1}, x(j) : j < k_{2n+1}}},

2. k_{2n+1} = min{i < ω : x(i) > max{k_{2n+2}, y(j) : j < k_{2n+2}}}.

La suite ⟨k_{i} : i < ω⟩ étant uniquement spécifiée, posons, pour n < ω, μ_{0}(x, y) = ∅, μ_{n+1}(x, y) = x↾k_{2n+1}, ν_{n}(x, y) = y↾k_{2n}. Notons IO l’ensemble des paires (x, y) ∈ (^{ω}ω)^{2} qui oscillent infiniment souvent, et ETP (pour even type-pairs) l’ensemble des paires de la forme (μ_{n}(x, y), ν_{n}(x, y)), où (x, y) ∈ IO et n < ω. Soit de même, OTP (pour odd type-pairs), l’ensemble des paires de la forme (μ_{n+1}(x, y), ν_{n}(x, y)), où (x, y) ∈ IO et n < ω.

Définition 2. Soient c :ETP→ 2, d :OTP→ 2 quelconques. Definissons les fonctions f_{c} et f_{d} de domaine IO comme suit : Soit (x, y) ∈ IO, posons (μ_{n}, ν_{n}) = (μ_{n}(x, y), ν_{n}(x, y)). Si ⟨(μ_{n_{k}}, ν_{n_{k}}) : k < N ≤ ω⟩ est la sous-suite des paires (μ_{n}, ν_{n}) telles que c(μ_{n}, ν_{n}) = 1, pososn f_{c}(x, y) = ⟨μ_{n_{k}+1} : k < N⟩. De même, si ⟨(μ_{n_{k}+1}, ν_{n_{k}}) : k < N ≤ ω⟩ est la sous-suite des paires (μ_{n+1}, ν_{n}) telles que d(μ_{n+1}, ν_{n}) = 1, posons f_{d}(x, y) = ⟨ν_{n_{k}+1} : k < N⟩.

Theorem. Soit f : (^{ω}ω)^{2} → ℝ une fonction boréleienne. Il existe une rectangle superparfait S_{0} × S_{1}⊆ IO tel que l’on ait un et un seul, des cas suivants :

1. ∀(x, y), (x′, y′) ∈ S_{0} × S_{1} f(x, y) = f(x′, y′).

2. ∀(x, y), (x′, y′) ∈ S_{0} × S_{1} f(x, y) = f(x′, y′) ⇔ x = x′.

3. ∀(x, y), (x′, y′) ∈ S_{0} × S_{1} f(x, y) = f(x′, y′) ⇔ y = y′.

4. Il existe c :ETP→ 2 telle que pour tous (x, y), (x′, y′) ∈ S_{0} × S_{1} on a c(μ_{n}(x, y), ν_{n}(x, y)) = 1 pour infiniment d’entiers n and f(x, y) = f(x′, y′) ⇔ f_{c}(x, y) = f_{c}(x′, y′).

5. Il existe d :OTP→ 2 telle que pour tous (x, y), (x′, y′) ∈ S_{0} × S_{1} on a c(μ_{n+1}(x, y), ν_{n}(x, y)) = 1 pour infiniment d’entiers n and f(x, y) = f(x′, y′) ⇔ f_{d}(x, y) = f_{d}(x′, y′).

6. ∀(x, y), (x′, y′) ∈ S_{0} × S_{1} f(x, y) = f(x′, y′) ⇔ (x, y) = (x′, y′).

[Sp1] O. Spinas, Ramsey and freeness properties of Polish planes, Proc. London Math. Soc., to appear.

[Sp2] O. Spinas, Canonical behaviour of Borel functions on superperfect rectangles, preprint.

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